RPG - Role Playing Game. То есть игра с отыгрышем роли своего персонажа. Когда за него нужно принимать различные сюжетные моральные решения, можно говорить в диалогах (выбирая подходящие реплики из списка, например), в таких играх обычно много разговоров и вообще много сюжета. Традиционно в большинстве RPG имеется система классов, прокачка персонажа, инвентарь. Игровой процесс построен на прохождении квестов, то есть выполнении заданий, которые дают другие персонажи. Иногда могут визуально напоминать экшены, иногда даже немого похожи с виду на стратегии.

MMORPG - Massive Multiplayer Online Role Playing Game. Это означает онлайновую ролевую игру, в которую на одной карте играют сотни игроков. Игровой мир при этом находится на сервере и живёт своей жизнью даже в отсутствии игрока.
MMO бывают не только RPG (хотя они самые популярные), но и шутеры и даже гонки.

Стратегия в своём классическом варианте предполагает управление юнитами (то есть "фишками на карте") и ставит цели сбора ресурсов на карте, построения баз (лагерей, замков, называйте как хотите), создания армии и захвата вражеских территорий. Существуют разные виды стратегий - пошаговые и реального времени (RTS, Real Time Strategy), экономические и тактические, те, в которых вы играете за определёного героя и те, в которых вы представляете из себя по сути бога, управляющего всем свыше.
Тайкун - это своеобразный подвид стратегий. Это бизнес-менеджеры, в которых нужно развить свою бизнес-империю. Это может быть парк аттракционов, транспортная автомобильная или железнодорожная компания, частные туристические пляжи и тому подобное.
Примечательно, что у пошаговых стратегий и бизнес-менеджеров есть свои очень даже успешные настольные аналоги. Самые знаменитые из них это наверное Монополия и Dungeons&Dragons.

Экшен - это такой салат из всего понемногу. Визуально обычно больше всего напоминает фильм (ну, по сравнению с другими жанрами). Экшены могут быть самыми разнообразными, поэтому четко описать их очень трудно. Проще привести примеры. Самый яркий пример экшена - это наверное GTA. Беготня, чаще всего от третьего лица (хотя нередко и от первого), в основном стрельба и прямолинейный сюжет, подаваемый в роликах-вставках. Могут частично включать в себя различные элементы из практически любых других жанров. Другие примеры экшена - Mirror's Edge, Assassin's Creed, Manhunt, Call of Juarez, Bully.
Слэшер, стелс и шутер - ближайшие представители подвида экшенов.
Слэшер - это мясорубка. То есть у нас есть очень крутой герой (обычно с крутым мечом или какими-нибудь другими крутыми штуками) и много не таких крутых противников. Вот мы бежим вперёд, рубаем всех подряд, мочим комбо и всякие суперприёмы, в конце уровня валим крутого босса, который в несколько раз больше нашего очень крутого героя. Примеры: X-Men Origins: Wolverine, Batman Arkham Asylum, Devil May Cry, God of War, Final Fantasy, Prince of Persia.
Стелс основан на незаметности, искусстве бесшумного, продуманного, быстрого и качественного убийства. К этому поджанру можно отнести Hitman (прячется в толпе, на виду у всех посредством переодевания или банального непривлечения к себе внимания, убийства часто выглядят как несчастные случаи), Splinter Cell (прячется в тени, старается не поднимать шум и вообще оставаться максимально незаметным, использует специальную аппаратуру вроде прослушивающих жучков и очков ночного и термального видения), Metal Gear, Thief.
В шутерах основной уклон идёт именно на стрельбу. В них обычно очень много оружия и очень много врагов. Представителями этого поджанра можно назвать Max Payne, Doom, Call of Duty, Quake, Crysis, FarCry, Stalker, Metro, короче тысячи их.

Квесты обладают неторопливым геймплеем, основанным на головоломках. Обычно сюжет в них о каких-то запутанных историях, в которых главный персонаж очень хочет разобраться. Разбираться приходится путём собирания различных кусочков "мозаики"-истории в одно целое. Выяснение новых фактов, решение различных головоломок, вытягивание информации из персонажей, сбор предметов, которые могут пролить свет на историю или просто полезных вещей. Такие игры затягивают своим игровым миром, сюжетом, чувством неизведанности. Эти же чувства можно найти и, например, в RPG, но там они имеют совершенно другой оттенок. Некоторым (по моему личному наблюдению, обычно тем, кто любит читать книги) нравится такой неторопливый темп игры, в котором всё время нужно думать над решением каких-то логических задач и головоломок, но многих это всё отпугивает.
Адвенчура, приключение, ещё один пограничный поджанр. Дело в том, что адвенчуры могут относиться как к экшенам (Tomb Raider), так и к квестам (Syberia). Так что это даже не поджанр, а скорее просто тег к описанию игр. Не знаю, как точнее сказать.

С гонками, думаю, всё понятно. Симуляторы - это игры с уклоном на как можно более реалистичную реализацию чего либо. Например, в гоночных симуляторах стараются передать наиболее точное поведение автомобиля на дороге, работу его узлов (и их тонкую настройку), влияние на автомобиль самых различных факторов, таких как давление в шинах, поток воздуха, влажность трассы и так далее. Тогда как в аркадных гонках большинства из этого всего нет, а что есть - упрощено. Кроме того есть симуляторы лётчика, водителя железнодорожного состава и множество других.

Спортивные компьютерные игры. С ними тоже всё понятно. Это футбол/баскетбол/хоккей и подобные.

Файтинги - это виртуальная реализация борьбы. Обычно выбираются два противника, и дерутся друг с другом на небольшом уровне-арене, за которую выйти нельзя, используются разные супер-удары (комбо), требующие запоминания сложных комбинаций клавиш, во многих файтингах есть турнирные таблицы, по которым надо подниматься, проходя свой чемпионский путь. Файтинги очень редко посещают ПК (что, откровенно говоря, жаль), но зато частые гости на консолях. Самые знаменитые серии этого жанра - это Mortal Kombat, Tekken, Street Fighter.

Казуальные игры - это маленькие игры, убийцы времени. Примеры таких игр - различные игры на Flash, Zuma, Lines и тому подобные.
Инди игры очень напоминают казуальные, с той разницей, что создаются они обычно не крупными фирмами, а обычно одним-тремя талантливыми людьми, в домашней обстановке (иногда это маленькие студии). В этих играх пробуются разные необычные формы геймплея и оформления. В итоге эти тёплые ламповые игры часто получаются настоящими шедеврами, а всё из-за того, что их делают не ради денег, а от души.